一般に，多変数関数の連続性は，1変数関数よりも強い条件である． 例えば，次のような簡単な2変数関数ですら，その連続性は複雑である． \begin{align*} f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\quad(x,y)\ne(0,0),\quad f(0,0)=0. \end{align*} 実際，問題となるのは原点のときであるが，直線 \( y=ax \) に沿っての極限を考えると \( x\ne 0\) のとき \( f(x,ax)=\frac{a}{1+a^2} \) であるので, 曲面 \( z=f(x,y) \) の， 直線 \( y=ax \) 上での切片は次のようになる. このページ下方にある mathematica によるグラフと合わせてみるとより深く理解できるだろう．

右側の円は \( (x,y) \) 平面を上から見たときに， 直線 \( y=ax \) の傾きを表している． ここで theta は \( a=\tan \theta \) である (単位は度数法で与えている)． そして右側のグラフは， その直線上での 曲面 \( z=f(x,y) \) の切片である．

操作方法：
←（キーボードの左キー）：パラメータ \( \theta \) を減少させる．
→（キーボードの右キー）：パラメータ \( \theta \) を増加させる．

以下にmathematicaで作成した3Dグラフを用意しました． 図形をドラッグすることにより，回転させることができます． 原点付近において，複雑な振る舞いをしていることが見て取れると思います． これはIEで実行することができます． また，Chromeの場合は一度ダウンロードして，Wolfram cdf playerにて実行することになります． 他のブラウザでは試していないので分かりません．

Last modified 2017年10月18日